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数学初等模型ppt

作者:皇冠注册开户-澳门皇冠手机版-新皇冠登录网址    发布时间:2020-01-12 17:38:09    来源:皇冠注册开户-澳门皇冠手机版-新皇冠登录网址    浏览:39

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  问题分析 前进阻力 ~ 浸没部分与水的摩擦力 前进动力 ~ 浆手的划浆功率 分析赛艇速度与浆手数量之间的关系. 赛艇速度由前进动力和前进阻力决定. 划浆 功率 赛艇 速度 赛艇 速度 前进 动力 前进 阻力 浆手数量 艇 重 浸没 面积 对浆手体重、功率、阻力与艇速的关系等作出假定. 运用合适的物理定律建立模型. 模型假设 1)艇形状相同(l/b为常数), w0与n成正比 2)v是常数,阻力 f与 sv2成正比 符号:艇速 v, 浸没面积 s, 浸没体积 A, 空艇重 w0, 阻力 f, 浆手数 n, 浆手功率 p, 浆手体重 w, 艇重 W. 艇的静态特性 艇的动态特性 3)w相同,p不变,p与w成正比 浆手的特征 模型建立 f sv2, p w v (n/s)1/3 s1/2 A1/3, A W(=w0+nw) n s n2/3 v n1/9 比赛成绩 t n – 1/9 np fv, 模型检验 n t 1 7.21 2 6.88 4 6.32 8 5.84 线次国际大赛冠军的平均成绩对模型 t n – 1/ 9 进行检验. t n 1 2 4 8 7.21 6.88 6.32 5.84 ? ? ? ? 与模型吻合! 划艇比赛的成绩 对实际数据做比较、分析,发现并提出问题. 利用物理基本知识分析问题. 模型假设比较粗糙. 利用合适的物理定律及简单的比例方法建模(只考虑各种艇的相对速度). 模型结果与实际数据十分吻合 (巧合!) 2.6 动物的身长和体重 背景与问题 研究四足动物躯干的长度与体重的关系. 家畜收购站 (屠宰场) 希望从躯干长度估计体重. 不陷入各种动物生理结构的研究. 问题分析 将动物躯干类比为圆柱形的弹性梁,四肢为支架,借助弹性力学的已有结果进行分析. 假 设 与 建 模 1. 躯干为圆柱体,长度 l, 直径 d, 断面面积 s. 2. 圆柱体为弹性梁,四肢为支架. 3. 动物在自身体重 f 作用下,躯干最大下垂为 b (梁的最大弯曲). 4. 弹性力学的已有结果: d l b f 5. 由 f ? sl ,得 b/l是动物躯干的相对下垂度. 在长期进化过程中每种动物的 b/l 已经达到最合适的数值,即 b/l=常数(与动物尺寸无关). b/l 太大,四肢无法支撑; b/l 太小,四肢的尺寸超过支撑躯干的需要,不合乎生物进化论. 对于一种四足动物(如生猪)由统计数据确定系数k . l3 ? d2 f ? sl, s ?d2, l3 ? d2 躯干的相对下垂度 b/l ?l 3/d2 d l b f 假设与建模 f ? l4 f =kl4 可以从躯干长度 l 估计动物体重 f . 动物的身长和体重 将动物躯干类比为弹性梁——充满想象力的大胆假设! 转化为有确切研究成果的弹性梁在自重下的挠曲问题. 类比法是数学建模的一种常用方法. 问题 甲有物品X, 乙有物品Y, 双方为满足更高的需要,商定相互交换一部分。研究实物交换方案. y x p . 用x,y分别表示甲(乙)占有X,Y的数量。设交换前甲占有X的数量为x0, 乙占有Y的数量为y0, 作图: 若不考虑双方对X,Y的偏爱,则矩形内任一点 p(x,y) 都是一种交换方案:甲占有(x,y) ,乙占有(x0 -x, y0 -y). x y yo 0 xo ? ? 2.7 实物交换 x y yo y1 y2 0 x1 x2 xo p1 p2 . . 甲的无差别曲线 分析与建模 如果甲占有(x1,y1)与占有(x2,y2)具有同样的满意程度,即p1, p2对甲是无差别的. M N 将所有与p1, p2无差别的点连接起来, 得到一条无差别曲线MN. 线上各点的满意度相同, 线的形状反映对X,Y的偏爱程度. N1 M1 P3(x3,y3) . 比MN各点满意度更高的点如p3,在另一条无差别曲线上, 于是形成一族无差别曲线 x f(x,y)=c1 无差别曲线族的性质: 单调减(x增加, y减小) 下凸(凸向原点) 互不相交 在p1点占有x少、y多,宁愿以较多的? y换取较少的? x; 在p2点占有y少、x多,就要以较多的? x换取较少的? y. 甲的无差别曲线族记作 f(x,y)=c1 c1~满意度 (f ~等满意度曲线) 甲的无差别曲线 x y O g(x,y)=c2 c2? 乙的无差别曲线具有相同性质(形状可以不同). 双方的交换路径 x y yo O xo f=c1 O‘ x’ y’ g=c2 乙的无差别曲线 (坐标系x’O’y’, 且反向) 甲的无差别曲线 A B p P’ 双方满意的交换方案必在AB(交换路径)上! 因为在AB外的任一点p’, (双方)满意度低于AB上的点p. 两族曲线切点连线记作AB 分析与建模 A B 交换方案的进一步确定 交换方案 ~ 交换后甲的占有量 (x,y) 0?x?x0, 0?y?y0矩形内任一点 交换路径AB 双方的无差别曲线族 等价交换原则 X,Y用货币衡量其价值,设交换前x0,y0价值相同,则等价交换原则下交换路径为 C D (x0,0), (0,y0) 两点的连线CD. AB与CD的交点p 设X单价a, Y单价b, 则等价交换下ax+by=s (s=ax0=by0) y yo 0 xo . . x p . 2.8 核军备竞赛 冷战时期美苏声称为了保卫自己的安全, 实行“核威慑战略”, 核军备竞赛不断升级. 随着前苏联的解体和冷战的结束, 双方通过了一系列核裁军协议. 在什么情况下双方的核军备竞赛不会无限扩张, 而存在暂时的平衡状态. 当一方采取加强防御、提高武器精度、发展多弹头导弹等措施时, 平衡状态会发生什么变化. 估计平衡状态下双方拥有的最少的核武器数量,这个数量受哪些因素影响. 背景与问题 以双方(战略)核导弹数量描述核军备的大小. 假定双方采取如下同样的核威慑战略: 认为对方可能发起所谓第一次核打击,即倾其全部核导弹攻击己方的核导弹基地; 己方在经受第一次核打击后,应保存足够的核导弹,给对方重要目标以毁灭性的打击. 在任一方实施第一次核打击时,假定一枚核导弹只能攻击对方的一个核导弹基地. 摧毁这个基地的可能性是常数,它由一方的攻击精度和另一方的防御能力决定. 模型假设 图的模型 y=f(x)~甲有x枚导弹,乙所需的最少导弹数(乙安全线) x=g(y)~乙有y枚导弹,甲所需的最少导弹数(甲安全线~乙方的威慑值 x y y0 0 y0~甲方实行第一次打击后已经没有导弹,乙方为毁灭甲方工业、交通中心等目标所需导弹数. x1 x0 y1 P(xm,ym) x=g(y) x y 0 y0 y=f(x) y=f(x) 乙安全区 甲安全区 双方 安全区 P~平衡点(双方最少导弹数) 乙安全线 分析模型 乙方残存率 s ~甲方一枚导弹攻击乙方一个基地,基地未被摧毁的概率. sx个基地未被摧毁,y–x个基地未被攻击. xy 甲方以 x枚导弹攻击乙方 y个基地中的 x个, y0=sx+y–x x=y y0=sy 乙的x–y个基地被攻击2次, s2(x–y)个未被摧毁; y –(x–y)=2y– x个被攻击1次, s(2y– x )个未被摧毁. y0= s2(x–y)+ s(2y– x ) x=2y y0=s2y yx2y y= y0+(1-s)x y=y0/s y=y0/s2 a~交换比(甲乙导弹数量比) x=a y, 分析模型 x=y, y=y0/s x=2y, y=y0/s2 y0~威慑值 s~残存率 y=f(x) y是一条上凸的曲线变大,曲线上移、变陡. s变大,y减小,曲线变平. a变大,y增加,曲线 xy, y= y0+(1-s)x x=y x=2y yx2y, 甲方增加经费保护及疏散工业、交通中心等目标. 乙方威慑值 y0变大 x y 0 y0 x0 P(xm,ym) x=g(y) y=f(x) 甲方的被动防御也会使双方军备竞赛升级. (其它因素不变) 乙安全线 y=f(x)上移 模型解释 平衡点P?P′ 甲方将固定核导弹基地改进为可移动发射架. 乙安全线y=f(x)不变 甲方残存率变大 威慑值x 0和交换比不变 x减小,甲安全线x=g(y)向y轴靠近 x y 0 y0 x0 P(xm,ym) x=g(y) y=f(x) 模型解释 甲方这种单独行为,会使双方的核导弹减少. P?P′ 双方发展多弹头导弹,每个弹头可以独立地摧毁目标. (x , y仍为双方核导弹的数量) 双方威慑值减小,残存率不变,交换比增加. y0减小 ? y下移且变平 x y 0 y0 x0 P(xm,ym) x=g(y) y=f(x) a 变大 ? y增加且变陡 双方导弹增加还是减少,需要更多信息及更详细的分析. 模型解释 乙安全线 y=f(x) 核 军 备 竞 赛 对“核威慑战略”做一些合理、简化假设,用图的模型描述双方核武器相互制约、达到平衡的过程. 提出安全曲线概念,给出它的一般形式. 通过更精细的分析找到影响安全线个参数:威慑值、残存率和交换比,给出安全线的分析表达式. 利用模型对核军备竞赛中的一些现象作出合理解释. 帆船在海面上乘风远航,确定最佳的航行方向及帆的朝向. 简化问题 A B ? 风向 北 航向 帆船 海面上东风劲吹,设帆船要从A点驶向正东方的B点,确定起航时的航向?, 帆 ? 以及帆的朝向? . 2.9 启帆远航 模型分析 风(通过帆)对船的推力w 风对船体部分的阻力p 推力w的分解 ? ? w p 阻力p的分解 w=w1+w2 w1 w2 w1=f1+f2 f1 f2 p2 p1 p=p1+p2 模型假设 w与帆迎风面积s1成正比,p与船迎风面积s2成正比,比例系数相同且 s1远大于 s2 . f1~航行方向的推力 p1 ~航行方向的阻力 w1=wsin(?-?) f1=w1sin?=wsin? sin(?-?) p1=pcos? 模型假设 ? ? w p w1 w2 f1 f2 p2 p1 w2与帆面平行,可忽略. f2, p2垂直于船身,可由舵抵消. 模型建立 w=ks1, p=ks2 船在正东方向速度分量v1=vcos? 航向速度v与力f=f1-p1成正比. v=k1(f1-p1) v1 v 2) 令? =? /2, v1=k1 [w(1-cos?)/2 -pcos?]cos ? 求?使v1最大(w=ks1, p=ks2) 1) 当?固定时求?使f1最大 f1=w[cos(?-2?)-cos?]/2 ? =? /2 时 f1=w(1-cos?)/2最大 = k1(f1-p1)cos? f1=w1sin?=wsin? sin(?-?) p1=pcos? 求?,? ,使 v1最大 模型建立 v1=vcos? ? ? w p w1 w2 f1 f2 p2 p1 v1 v 模型求解 第二章 初等模型 2.1 公平的席位分配 2.2 录像机计数器的用途 2.3 双层玻璃窗的功效 2.4 汽车刹车距离 2.5 划艇比赛的成绩 2.6 动物的身长和体重 2.7 实物交换 2.8 核军备竞赛 2.9 启帆远航 2.10 量纲分析与无量纲化 2.1 公平的席位分配 系别 学生 比例 20席的分配 人数 (%) 比例 结果 甲 103 51.5 乙 63 31.5 丙 34 17.0 总和 200 100.0 20.0 20 21席的分配 比例 结果 10.815 6.615 3.570 21.000 21 问题 三个系学生共200名(甲100,乙60,丙40),代表会议共20席,按比例分配,三个系分别为10, 6, 4席. 因学生转系, 三系人数为103, 63, 34, 如何分配20席? 若代表会议增加1席,如何分配21席? 比例加惯例 对丙系公平吗 系别 学生 比例 20席的分配 人数 (%) 比例 结果 甲 103 51.5 10.3 乙 63 31.5 6.3 丙 34 17.0 3.4 总和 200 100.0 20.0 20 系别 学生 比例 20席的分配 人数 (%) 比例 结果 甲 103 51.5 10.3 10 乙 63 31.5 6.3 6 丙 34 17.0 3.4 4 总和 200 100.0 20.0 20 21席的分配 比例 结果 10.815 11 6.615 7 3.570 3 21.000 21 背景 Hamilton (比例加惯例) 方法------ 1792年美国国会用于分配各州众议员名额 已知: m方人数分别为 p1, p2,… pm, 记总人数为 P= p1+p2+…+pm, 待分配的总席位为N. 记 qi=Npi /P, 称为第i方的份额(i =1,2, …m) 各方先分配qi的整数部分[qi], 总余额为 记ri =qi-[qi], 则第i方的分配名额ni为 要求 已知份额向量q=(q1, …, qm), 找一个整数分配向量n=(n1, …, nm), 使n与q最接近. Hamilton方法的不公平性 1. p1, p2,… pm不变, N的增加会使某个ni减少 (上例). 2. N不变, pi 比pj的增长率大, 会使 ni减少 nj增加(例1). 3. p1, p2,… pm不变, m增加1, N的增加会使某个ni增加而某个ni减少(例2). 20 200 总和 4 34 i=3 6 63 i=2 10 103 i=1 ni pi 215 38(+11.8%) 63 114(+10.6%) pi 20 3.54 5.86 10.60 qi 20 3 6 11 ni 206 6 34 63 103 pi 21 0.61 3.47 6.42 10.50 qi 21 1 3 6 11 ni 例1 例2 “公平”分配方法 衡量公平分配的数量指标 人数 席位 A方 p1 n1 B方 p2 n2 当p1/n1= p2/n2 时,分配公平 p1/n1– p2/n2 ~ 对A的绝对不公平度 p1=150, n1=10, p1/n1=15 p2=100, n2=10, p2/n2=10 p1=1050, n1=10, p1/n1=105 p2=1000, n2=10, p2/n2=100 p1/n1– p2/n2=5 但后者对A的不公平程度已大大降低! 虽二者的绝对不公平度相同 若 p1/n1 p2/n2 ,对 不公平 A p1/n1– p2/n2=5 公平分配方案应使 rA , rB 尽量小 设A, B已分别有n1, n2 席, 若增加1席, 问应分给A, 还是B? 不妨设分配开始时 p1/n1 p2/n2 ,即对A不公平. ~ 对A的相对不公平度 将绝对度量改为相对度量 类似地定义 rB(n1,n2) 将一次性的席位分配转化为动态的席位分配, 即 “公平”分配方法 若 p1/n1 p2/n2 ,定义 1)若 p1/(n1+1) p2/n2 , 则这席应给 A 2)若 p1/(n1+1) p2/n2 , 3)若 p1/n1 p2/(n2+1), 应计算rB(n1+1, n2) 应计算rA(n1, n2+1) 若rB(n1+1, n2) rA(n1, n2+1), 则这席应给 应讨论以下几种情况 初始 p1/n1 p2/n2 问: p1/n1p2/(n2+1) 是否会出现? A 否! 若rB(n1+1, n2) rA(n1, n2+1), 则这席应给 B 当 rB(n1+1, n2) rA(n1, n2+1), 该席给A rA, rB的定义 该席给A 否则, 该席给B 定义 该席给Q值较大的一方 推广到m方分配席位 计算 该席给Q值最大的一方 Q 值方法 (Huntington) 三系用Q值方法重新分配 21个席位 按人数比例的整数部分已将19席分配完毕 甲系:p1=103, n1=10 乙系:p2= 63, n2= 6 丙系:p3= 34, n3= 3 用Q值方法分配第20席和第21席 第20席 第21席 同上 Q3最大,第21席给丙系 甲系11席, 乙系6席, 丙系4席 Q值方法分配结果 公平吗? Q1最大,第20席给甲系 模型的公理化研究 Q值方法比“比例加惯例”方法更公平吗? 席位分配的公理 (1974) 份额qi=Npi /P, 分配名额ni = ni (N, p1, ,… pm ) 已知p1, p2,… pm , P, N 1) [qi]? ni ? [qi]+1 (i=1,2, …m) ~ 公平分配性 2) ni (N, p1, ,… pm ) ? ni (N+1, p1, ,… pm) ~名额单调性 3) 若pi pi , pj= pj (j?i), 则ni (N, p1,… ) ? ni (N, p1,…) ~人口单调性 4) ni, nj的转让不能使得它们更接近qi ,qj ~ 接近份额性 “比例加惯例”方法满足公理 1,但不满足公理2. Q值方法满足公理2, 但不满足公理1 . 模型的公理化研究 1000 15 16 17 952 pi 100 1.5 1.6 1.7 95.2 qi 100 2 2 2 94 ni i=4 i=3 i=2 i=1 不存在满足上述公理的席位分配方法 (1982) 公平的席位分配 建立“公平分配席位”模型的关键是建立衡量公平程度的数量指标. 在以相对不公平度为衡量指标的前提下, Q值方法比“比例加惯例”方法更加公平. 如果采用公理化方法——提出公平分配席位的理想化原则,那么该问题尚未解决——已证明不存在满足一组公理的席位分配方法. 问 题 在一次使用中录像带已经转过大半,计数器读数为 4450,问剩下的一段还能否录下1小时的节目? 要求 不仅回答问题,而且建立计数器读数与 录像带转过时间的关系. 思考 计数器读数是均匀增长的吗? 2.2 录像机计数器的用途 经试验,一盘标明180分钟的录像带从头走到尾,时间用了184分,计数器读数从0000变到6061. 观察 计数器读数增长越来越慢! 录像机计数器的工作原理 主动轮 压轮 0000 左轮盘 右轮盘 磁头 计数器 录像带 录像带运动方向 主动轮匀速转动 右轮盘 半径增大 计数器读数增长变慢 录像带速度是常数 问题分析 右轮转速越来越慢 模型假设 录象带的运动速度是常数 v ; 计数器读数 n与右轮转数 m成正比,记 m=kn; 录象带厚度(加两圈间空隙)为常数 w; 空右轮盘半径记作 r ; 时间 t=0 时读数 n=0 . 建模目的 建立时间t与读数n之间的数量关系. (设v,k,w ,r为已知参数) 模型建立 建立t与n的函数关系有多种方法 1. 右轮盘转第 i 圈的半径为r+wi, m圈的总长度 等于录象带在时间t内移动的长度vt, 即 思考:这个结果能否解释“计数器读数增长越来越慢” ? 2. 考察右轮盘面积的 变化,等于录象带厚度 乘以转过的长度,即 模型建立 3. 考察t到t+dt录象带运动的长度,等于在右轮盘上缠绕的一段圆弧,即 思考:比较方法3与方法1, 2,分析微积分与初等数学在解决问题的思路上有什么本质区别? 3种建模方法得到同一结果 但仔细推算会发现稍有差别,请解释. 模型中有待定参数 一种确定参数的办法是测量或调查,请设计测量方法. 模型建立 参数估计 另一种确定参数的方法——测试分析 将模型改记作 只需估计 a,b. 理论上,已知t=184, n=6061, 再有一组(t, n)数据即可. 实际上,由于测试有误差,最好用足够多的数据作拟合. 现有一批测试数据: t 0 20 40 60 80 n 0000 1141 2019 2760 3413 t 100 120 140 160 184 n 4004 4545 5051 5525 6061 用最小二乘法可得 模 型 检 验 应该另外测试一批数据检验模型: 模 型 应 用 回答提出的问题:由模型算得 n = 4450 时 t = 116.4分, 剩下的录象带能录 184-116.4= 67.6分钟的节目. 揭示了“t 与 n 之间呈二次函数关系”这一普遍规律, 当录象带的状态改变时,只需重新估计 a,b 即可. 录像机计数器的用途 日常生活中的问题(录制节目) 数学建模全过程的典型示例 观察现象(读数增长越来越慢) 建模准备(了解工作原理) 模型建立(多种方法) 模型检验 模型假设 参数估计(测试分析) 模型应用 2d 墙 室内 T1 室外 T2 d d 墙 l 室内 T1 室外 T2 问题 双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比,减少多少热量损失. 假设 热量传播只有传导,没有对流. T1,T2不变,热传导过程处于稳态. 材料均匀,热传导系数为常数. 建模 热传导定律 Q1 Q2 Q ~单位时间单位面积传导的热量 ?T~温差, d~材料厚度, k~热传导系数 2.3 双层玻璃窗的功效 d d 墙 l 室内 T1 室外 T2 Q1 Ta Tb 记双层玻璃窗传导的热量Q1 Ta~内层玻璃的外侧温度 Tb~外层玻璃的内侧温度 k1~玻璃的热传导系数 k2~空气的热传导系数 建模 记单层玻璃窗传导的热量Q2 2d 墙 室内 T1 室外 T2 Q2 双层与单层窗传导的热量之比 k1=4?10-3 ~8 ?10-3, k2=2.5?10-4, k1/k2=16 ~32 对Q1比Q2的减少量作最保守的估计, 取k1/k2 =16 建模 h Q1/Q2 4 2 0 0.06 0.03 0.02 6 模型应用 取 h=l/d=4, 则 Q1/Q2=0.03 即双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比,可减少97%的热量损失. 结果分析 Q1/Q2所以如此小,是由于层间空气极低的热传导系数 k2, 而这要求空气非常干燥、不流通. 房间通过天花板、墙壁、…损失的热量更多. 双层窗的功效不会如此之大! 2.4 汽车刹车距离 美国的某些司机培训课程中的驾驶规则: 背景与问题 正常驾驶条件下, 车速每增10英里/小时, 后面与前车的距离应增一个车身的长度. 实现这个规则的简便办法是 “2秒准则” : 后车司机从前车经过某一标志开始默数 2秒钟后到达同一标志,而不管车速如何. 判断 “2秒准则” 与 “车身”规则是否一样; 建立数学模型,寻求更好的驾驶规则. 问题分析 常识:刹车距离与车速有关 10英里/小时(?16公里/小时)车速下2秒钟行驶29英尺(? 9米) 车身的平均长度15英尺(=4.6米) “2秒准则”与“10英里/小时加一车身”规则不同 刹车距离 反应时间 司机状况 制动系统灵活性 制动器作用力、车重、车速、道路、气候… 最大制动力与车质量成正比,使汽车作匀减速运动. 车速 常数 反应距离 制动距离 常数 假 设 与 建 模 1. 刹车距离 d 等于反应距离 d1 与制动距离 d2 之和. 2. 反应距离 d1与车速 v成正比. 3. 刹车时使用最大制动力F,F作功等于汽车动能的改变; F d2= m v2/2 F ? m t1为反应时间 且F与车的质量m成正比. 反应时间 t1的经验估计值为0.75秒. 参数估计 利用交通部门提供的一组实际数据拟合 k. 模 型 最小二乘法 ? k=0.0256 计算刹车距离、刹车时间 4.3 439.5 464(506) 117.3 80 3.6 346.5 343(372) 102.7 70 3.0 263.8 248(268) 88.0 60 2.5 192.2 173(186) 73.3 50 2.1 132.1 116(124) 58.7 40 1.8 82.5 73.5(78) 44.0 30 1.5 43.9 42(44) 29.3 20 刹车时间 (秒) 计算刹车距离(英尺) 实际刹车距离(英尺) 车速 (英里/小时) (英尺/秒) “2秒准则”应修正为 “t 秒准则” 模 型 4.3 80 3.6 70 3.0 60 2.5 50 2.1 40 1.8 30 1.5 20 刹车时间 (秒) 车速 (英里/小时) 4 3 2 1 t(秒) 60~80 40~60 10~40 0~10 车速(英里/小时) 2.5 划艇比赛的成绩 赛艇 2000米成绩 t (分) 种类 1 2 3 4 平均 单人 7.16 7.25 7.28 7.17 7.21 双人 6.87 6.92 6.95 6.77 6.88 四人 6.33 6.42 6.48 6.13 6.32 八人 5.87 5.92 5.82 5.73 5.84 艇长l 艇宽b (米) (米) l/b 7.93 0.293 27.0 9.76 0.356 27.4 11.75 0.574 21.0 18.28 0.610 30.0 空艇重w0(kg) 浆手数n 16.3 13.6 18.1 14.7 对四种赛艇 (单人、双人、四人、八人) 4次国际大赛冠军的成绩进行比较,发现与浆手数有某种关系. 试建立数学模型揭示这种关系. 问题 准备 调查赛艇的尺寸和重量 l /b, w0/n 基本不变

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